Ogólna teoria matematyki Milla

Nie trzeba chyba mówić, że Mili uznaje, iż matematyka posiada pewne własności swoiste. Zauważa, na przykład, że „twierdzenia geometrii są niezależne od następstwa zdarzeń”.21 A dalej, prawdy matematyki „nie mają żadnego związku z prawdami przyczynowości… że gdzie dwie proste linie przecinają się ze sobą, tam kąty przeciwległe są równe, jest prawdą, co się tyczy wszelkich takich linii i kątów, bez względu na to, jaka była przyczyna ich powstania”.22 A w innym miejscu: rozumowanie matematyczne „nie pozwala nam na wprowadzanie, w żadnym ogniwie rozumowania, założenia, którego nie napotkaliśmy w samej budowie aksjomatu, postulatu czy definicji. Jest to zaleta, która je łączy z formalną logiką”.23

Kiedy jednak zaczynamy wnikać w ogólną teorię matematyki Milla, wyłaniają się komplikacje. Dugald Stewart utrzymywał, że zdania matematyczne nie wyrażają faktów, lecz jedynie powiązania między przypuszczeniami czy założeniami a pewnymi wnioskami. Utrzymywał dalej, że pierwszymi zasadami geometrii są definicje Euklidesa, a nie postulaty i aksjomaty. A ponieważ uznawał, że definicje są arbitralne, stwarzało to trudność w wyjaśnieniu, jak można stosować czystą matematykę. Sprawą zupełnie przypadkowej zbieżności stawało się dla niego to, że matematyka może, by tak rzec, odpowiadać rzeczywistości i być z powodzeniem stosowana w fizyce. Ale Milla nie zadowalało to stanowisko. Chciał on powiedzieć, że zdania matematyczne są prawdziwe, toteż nie mógł przyznać, że twierdzenia Euklidesa są dedukowalne z definicji. Mili utrzymywał bowiem, jak widzimy, że definicje nie są ani prawdziwe, ani fałszywe. Musiał zatem uznać, że twierdzenia Euklidesa zostały wyprowadzone z postulatów, które mogą być prawdziwe lub fałszywe. I przekonywał, że każda z definicji Euklidesa jest jedynie częściowo definicją, zawiera bowiem również postulat. Innymi słowy, każdą definicję Euklidesa można rozłożyć na dwa zdania, z których jedno jest postulatem czy założeniem dotyczącym faktu, zaś drugie jest właściwą definicją. Tak więc definicję koła można rozłożyć na dwa następujące zdania: „może istnieć figura, której wszystkie punkty leżące na linii, która ją ogranicza, są równie odległe od punktu wewnątrz niej”, (oraz) „wszelka figura, która posiada tę własność, jest zwana kołem”.24 Zdanie pierwsze jest postulatem i takie właśnie postulaty, a nie czyste definicje stanowią przesłanki do dedukcji twierdzeń Euklidesa. Luka, jaką stworzył Stewart między matematyką czystą a stosowaną, zostaje więc wypełniona. Później nową interpretację matematyki. Chyba zbyt daleko szłaby nawet sugestia, że świadomie zmienił zdanie co do interpretacji podanej w Systemie logiki czy może co do kilku zawartych tam interpretacji. Trudno jednak przeczyć, że czynił uwagi zakładające inne pojmowanie matematyki. Na przykład, w swym Examination of Sir Wiliam Hamilton’s Philosophy Mill informuje czytelników, że prawa liczb leżą u podłoża praw rozciągłości, że te dwa zbiory praw leżą u podłoża praw siły, a prawa siły „leżą u podłoża wszystkich innych praw dotyczących materialnego wszechświata”.55 Podobnie, w mowie, jaką napisał w 1866 r. dla uniwersytetu w St. Andrews, Mili wskazuje, że matematyka daje nam klucz do natury, i że nie tyle jest tak, iż pierwsze zasady matematyki są utworzone w drodze indukcyjnego uogólnienia z obserwacji zjawisk, które mogłyby być inne niż są, ile raczej jest tak, że zjawiska są takie, jakie są, z powodu pewnych praw matematycznych. Oczywiście, nie wpływa to koniecznie na tezę, że do poznania prawd matematycznych dochodzimy w oparciu o doświadczenie, a nie a priori, ale z pewnością wpływa na tezę, że konieczność matematyki ma czysto hipotetyczny charakter.