Ogólna teoria matematyki Milla – kontynuacja

Tę sytuację można bodaj podsumować w następujący sposób. Według Milla rozwinięcie nauki o liczbie, czyli arytmetyki wymaga jedynie dwóch podstawowych aksjomatów, a mianowicie: „rzeczy, równe tej samej rzeczy, są równe między sobą”, oraz: „rzeczy równe, dodane do równych, dają sumy równe”, „oraz definicji różnych liczb”.36 Aksjomatów tych nie można raczej opisywać jako hipotez empirycznych, chyba że się miesza zdecydowanie psychologiczną kwestię sposobu dochodzenia do ich poznania z kwestią ich logicznego statusu. A choć Mili mówi o nich jako o prawdach indukcyjnych, mówi też o ich „niezawodnej prawdziwości”, uznawanej „od najwcześniejszych początków spekulacji myślowej”.37 Całkiem możliwe byłoby więc uznanie takich aksjomatów za koniecznie prawdziwe na mocy znaczeń użytych symboli słownych i za rozwinięcie formałistycz- nej interpretacji matematyki. Mili nie był jednak gotów przyznać, że podstawowe aksjomaty matematyki są zdaniami werbalnymi. Toteż będąc zdecydowanym podkopać twierdzę intuicjonistów, musiał interpretować owe aksjomaty jako uogólnienia indukcyjne, jako hipotezy empiryczne. A konieczność zdań matematyki musiał interpretować po prostu jako konieczność związku logicznego między przesłankami a wyprowadzonymi z nich wnioskami. Mili zarazem dobitnie uświadamiał sobie powodzenie, z jakim matematyka stosowana powiększa naszą wiedzę o świecie, i przechodził do uwag przypominających Galileusza, by nie wspomnieć o Platonie. Sądził niewątpliwie, że mówienie o prawach liczb, leżących u podstaw świata zjawisk, jest całkiem spójne z jego interpretacją podstawowych zasad matematyki. Ale choć było to spójne z twierdzeniem psychologicznym, że nasze poznanie prawd matematycznych faktycznie zakłada doświadczenie rzeczy, trudno było o spójność z twierdzeniem logicznym, że aksjomaty matematyczne są empirycznymi hipotezami. A widzieliśmy, jak sam Mili postawił się w trudnym położeniu usiłując wyjaśnić, w jakim sensie są to hipotezy.

Krótko mówiąc, możemy powiedzieć jedno z dwojga. Albo, że Mili podtrzymywał empirystyczny pogląd na matematykę, lecz wypowiadał twierdzenia niespójne z tym poglądem. Jest to tradycyjny sposób opisu tej sytuacji. Albo możemy powiedzieć, wraz z pewnymi autorami,88 że choć Mili zdaje się sądzić, iż wykłada jedną ujednoliconą interpretację matematyki, faktycznie możemy wykryć w jego pismach kilka alternatywnych interpretacji, między którymi nieustannie się wahał w praktyce, jeśli nie w teorii.